Математика алгебродинамики. Некоммутативный (кватернионный) анализ

Основная реализация алгебродинамики связана с обобщением комплексного анализа на исключительные некоммутативные алгебры - кватернионы и бикватернионы (комплексные кватернионы). Ассоциативная алгебра кватернионов была открыта У. Гамильтоном в 1843 году и оказалась в удивительном соответствии со свойствами физического пространства (ее группа автоморфизмов - "симметрий" алгебраических операций - соответствует группе трехмерных вращений SO(3)). Однако проблема построения теории функций кватернионного переменного (по образцу известной студентам теории функций комплексного переменного, ТФКП) или, более обще, -- проблема некоммутативного анализа, оказалась очень сложной и большинством математиков не считается решенной до настоящего времени.

Тем не менее, в 1980 году автором было предложено новое определение "гипераналитических" функций кватернионного переменного, в полной мере учитывающее как ассоциативность, так и некоммутативность этой алгебры. По аналогии с ТФКП, класс таких функций оказался эквивалентным классу конформных отображений в 4-х мерном евклидовом пространтсве E⁴ . Однако этот класс, в силу известной теоремы Лиувилля, исчерпывается 15-параметрической группой преобразований (вращений, трансляций, инверсий и дилатаций). Для построения на его основе содержательной теории поля такой класс слишком узок.

Замечательным образом, при комплексификации алгебры кватернионов, т.е. для алгебры бикватернионов , класс гипераналитических функций существенно расширяется, геометрически соответствуя т.н. "вырожденным" конформным отображениям (комплексного пространства Минковского СМ ⁴ на "световой" конус). Такие отображения естественным образом порождают спинорную, твисторную и калибровочную структуры, а соответствующие обобщенные уравнения Коши-Римана (ОУКР) оказываются инвариантными относительно преобразований Лоренца. Это позволило интерпретировать данные уравнения как уравнения первичных физических полей – гипераналитических функций бикватернионного переменного, и построить на их базе оригинальный вариант алгебраической теории поля , реализовав тем самым программу АД-подхода.

Основными специфическими свойствами системы ОУКР, отличающей ее от известных уравнений Коши-Римана, являются ее нелинейность и переопределенность . Первое свойство является прямым следствием некоммутативности кватернионных алгебр и позволяет рассматривать ОУКР как систему уравнений взаимодействующих полей (или единого поля с ``самодействием’’). Второе свойство позволяет реализовать концепцию сверхпричинности А.Эйнштейна, в которой квантование является следствием ограничений на начальные распределения поля, связанных с переопределенностью системы полевых уравнений. Кроме того, как следствие условий совместности переопределенной системы ОУКР возникают дополнительные ограничения на поля, в том числе эквивалентные известным в физике уравнениям калибровочных полей (Максвелла и Янга-Миллса).

Фундаментальным уравнением, играющим роль уравнений Лапласа в комплексном анализе и являющимся прямым следствием системы ОУКР, является здесь уравнение (комплексифицированного) эйконала - простейшее нелинейное релятивистское уравнение. Заметим, что нами в 2002 году получено общее решение уравнения эйконала, состоящее из двух существенно различных классов [23]. Возможность получения общего решения тесно связано с наличием у системы ОУКР т.н. твисторной структуры. Заметим, что твистор, как математический объект, тесно связан с геометрией Минковского пространства-времени и внутренней “светоподобной” структурой полей в этой геометрии. Твисторы были введены в рассмотрение Роджером Пенроузом и в структуре ОУКР возникают совершенно естественно.

Следует отметить также, что структура ОУКР порождает несколько эффективных геометрических структур, в том числе римановую метрику (типа хорошо известных в общей теории относительности метрик Керра-Шилда), а также исключительную афинную геометрию с неметричностью вейлевского типа и с кручением специального вида [34].

Изучение системы ОУКР тесно связано также с анализом сингулярной структуры соответствующих функций-отображений и с теорией особенностей дифференцируемых отображений ("теорией катастроф") Тома-Арнольда (см. ниже).

Основной проблемой алгебраических физических теорий и, особенно, АД-подхода до сих пор являлось отсутствие подходящей "алгебры пространства-времени", т.е. алгебраической ("Числовой") структуры, которая естественным образом порождала бы именно геометрию физического пространства-времени Минковского. Однако в 2005 году нами было показано, что как раз алгебра бикватернионов порождает эту геометрию, а дополнительные размерности (вещественно 8-мерного) векторного пространства этой алгебры проявляют себя как компактифицированные фазовые координаты, порождая слой над пространством Минковского [25]. Основная геометрическая фаза представляет собой второй инвариант преобразований Лоренца (помимо интервала Минковского) и отвечает, предположительно, за явления квантовой интерференции элементарных частицеподобных образований [15,26]. С другой стороны, эта фаза есть не что иное, как фаза 2-мерного комплексного времени , концепция которого неизбежно возникает в контексте последовательной бикватернионной алгебродинамики. Введение комплексного времени позволяет, в частности, обеспечить неопределенность эволюции материальных частиц в рамках изначально полностью детерминистической схемы и приблизиться к выводу из принципов алгебродинамики квантовой теории, близкой по духу к фейнмановской версии квантовой механики.