Вопросы кибернетики. Алгебра. Гипергеометрия. Вероятность.
Моделирование. М.: НИИСИ. 1999. С. 182-189.
© А.В.Коганов
Автоморфизмы конических индукторных пространств
А. В. Коганов
Работа поддержана
Российским Фондом фундаментальных исследований
Российской Академии Наук (грант 98-01-00798).
Построение математических моделей в ряде областей приложений математики привело к формулировке особого вида топологий - индукторных пространств. В них происходит отказ от симметричного вхождения точек в окрестности друг друга. Это позволило сформулировать на едином языке многие факты и теоремы, которые ранее требовали различных формулировок для непрерывных метрических и топологических пространств, дискретных графов и структур (частичных порядков). Интересным классом пространств являются конические пространства, в которых топология аналогична пространству Минковского, что удобно для волновых и релятивистских моделей. Было известно, что линейные автоморфизмы таких пространств образуют группу Лоренца [1],[3]. Однако известны и нелинейные автоморфизмы. В этой работе будет доказано, что при размерностях пространства, начиная с трех, все автоморфизмы конических пространств линейны. Отсюда следует, в частности, что волновые процессы в пространстве определяют его линейную структуру, если размерность достаточно велика.
В работах [1],[2] рассматривались специальные топологии -индукторные пространства ( И-пространства ) в которых каждая точка пространства имеет свою систему окрестностей (индукторов), и ее индуктор может не быть окрестностью другой, входящей в него точки. Это главное отличие И-пространств от обычных топологий. Они сочетают возможности топологий, графов и структур при построении математических моделей.
Общая для всех И-пространств аксиоматика. Пусть t -точка, а V - ее индуктор, x - внутренняя точка V, U - индуктор x; тогда :
1) объединение V+U - индуктор t;
2) пересечение V ЗU содержит некоторый индуктор x ;
если x = t , то V ЗU - индуктор t ;
3) t содержится вV.
Такие системы индукторов называются индукциями.
Определение 1. Коническим пространством Rc[n] назывется индукция на Rn, где порождающей системой индукторов точки y являются конусы, записываемые в некоторой системе координат x1,ј,xn в виде
|
Автоморфизмы по структуре индукторов являются автоморфизмами пространства ( обозначение, в частности, aut Rb[n] или aut Rc[n] ). В [1] было показано, что для Rb[n] и Rc[n] все линейные автоморфизмы образуют каноническое действие группы Лоренца Lor[n] на Rn. Для него единственная, с точностью до коэффициента, инвариантная метрика - это метрика Минковского. В настоящее время изучена полная группа автоморфизмов.
Для конической индукции
Теорема 1. aut Rc[1] = все монотонные строго возрастающие автоморфизмы R1 ;
aut Rc[2] = aut Rc[1] ×autRc[1] ×S2 : R2
(действие S2 -инверсия оси x2 , перестановка образующих плоского конуса .);
autRc[n] = Lor[n] ×R+:Rn при n і 3
(действие R+ -равномерное растяжение).
Для биконической индукции
Теорема 2. sl aut Rb[1] = все топологические автоморфизмы R1 = autRc[1] ×S2 : R1 ;
aut Rb[2] = aut Rс[1] ×autRс[1] ×S2 ×S2: R2,
(действие S2 ×S2 -инверсия осей R2- перестановка образующих и инверсия оси конуса);
autRb[n] = Lor[n] ×R : Rn при n і 3 ,
(действие R -равномерное растяжение и инверсия оси конуса ).
В обеих теоремах действие Lor[n] каноническое.
Замечание. При размерности пространства выше двух кониеская
и биконическая индукции допукают только линейные автоморфизмы.
Поскольку для разных размерностей группы автоморфизмов
неизоморфны, индукции этого типа определяют размерность
пространства независимо от линейной
структуры на нем.
Заметим, также, что биконическая индукция соответствует топологии положительных интервалов в пространстве Минковского, метрика которого инвариантна по действию Lor[n]. В четырехмерии это соответствует зонам передачи энергии в волновых процессах.
Группы autRb[n] и autRc[n] отличаются только прямым домножением на инверсию оси конуса x1 , которая обуславливается соответствующей симметрией порождающей системы биконической индукции. Проведем доказательство для конической индукции.
Случай n = 1. В этом случае коническое пространство - это "направленная прямая" [2]. Окрестностью точки является отрезок, в котором эта точка - его правый (для определенности) конец. Непрерывные отображения в такой топологии - это функции, непрерывные слева. Автоморфизм, как непрерывная биекция на себя, может быть только и любой строго монотонной непрерывной действительной функцией, неограниченной в обе стороны.
Случай n = 2. В этом случае конус- индуктор точки - это угол с вершиной в точке. При автоморфизме этот угол не меняется, поскольку у всех конусов индукторов этот угол одинаков (базовый угол ), и соответственные стороны разных углов параллельны. Перейдем в систему координат, оси которой параллельны сторонам базового угла пространства с началом в некоторой точке (0,0) и направляющими e, t . На линиях этих векторов порождена топология (индукция) направленной прямой. Если U - автоморфизм, то либо U(x,y) = U(xe+yt) = U(0,0)+V(x)e+W(y)t , где V,W - автоморфизмы направленной прямой или U(x,y) = U(xe+yt) = U(0,0)+V(x)t+W(y)e , где V,W - их взаимные гомеоморфизмы. Это соответствует теореме 1.
Случай n = 3. Для доказательства утверждения теоремы достаточно показать, что все автоморфизмы линейны, т. е. переводят прямые линии только в прямые. Тогда утверждение следует из результата [2]. Введем термины. И-конус - конус с неограниченной образующей, объединяющей все индукторы одной точки. С-линия - прямая, продолжающая образующую И-конуса. С-плоскость - плоскость, в каждой точке касательная к некоторому И-конусу. Т-линия прямая, идущая внутри И-конуса. Т-плоскость - плоскость, образованная o`p`kkek|mlh Т-линиями. Р-плоскость -секущая плоскость для И- конусов. Р-линия -прямая, лежащая в Р-плоскости. Соответственно, будем обобщенно говорить о С- объектах, Т-объектах и Р-объектах.
Лемма 1. Автоморфизм конического пространства непрерывен в топологии Rn.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим последовательность точек
r(1),r(2),... сходится к точке r. Тогда можно построить
последовательность вложенных И-конусов K(i) с вершинами в
некоторых точках g(1),g(2),... и высотами H(1),H(2),... , где
lim g(i) = r; lim H(i) = 0 для i = 1,2,... , причем все
r(i),r(i+1),... содержатся внутри конуса K(i). Единственной
общей точкой всех конусов является точка r. После применения
произвольного автоморфизма u И-конусы K(1),K(2),... перейдут
во вложенную систему И-конусов uK(i)| i = 1,2,... с
единственной общей точкой ur . При этом образы
ur(i),ur(i+1),... содержатся внутри И-конуса uK(i). Отсюда
следует, что
limi ® Ґur(i) = ur . [¯]
Лемма 2.Любая Р- прямая является пересечением двух С- плоскостей.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Любая плоскость, касательная по образующей к И- конусу является С- плоскостью. Рассмотрим Р- прямую L . По определению она не лежит внутри какого-либо И- конуса. Выберем точку r на L и расположим там вершину И- конуса не имеющего с L других точек пересечения. Проведем две касательные плоскости к конусу, проходящие через L . Такие плоскости всегда существуют для конуса и прямой, проходящей через вершину с внешней стороны. Поскольку любая плоскость, касательная к И-конусу , является С- плоскостью, то лемма 2 доказана. [¯]
Лемма 3.Любой автоморфизм переводит С-объект в С- объект и Р-объект в Р-объект того же типа. Т-линия переходит в непрерывную линию внутри И-конуса (не утверждается, что в прямую).
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению автоморфизма образ и прообраз любого И-конуса является И-конусом. Поскольку биекция строго монотонна по вложению подмножеств, граница (поверхность) И- конуса переходит в поверхность образа. Любая С-линия есть линия касания двух И- конусов, один из которых внутри другого (касание по образующей). Это пересечение двух поверхностей И- конусов, которое переходит в аналогичное касание, т.е. образ С- линии опять С- линия. Тогда С- плоскость переходит в непрерывное множество, состоящее из непересекающихся С-линий. На произвольной С- плоскости B выберем произвольную точку r и проведем через нее С-прямую L по которой B касается конуса K. По каждой такой прямой С-плоскости касается бесконечно много И-конусов, вершины которых лежат на L. Рассмотрим последовательность И- конусов K(1),K(2),... , вершины которых g(1),g(2),... неограниченно удаляются от r по L. Тогда кривизна поверхности конуса K(i) в точке r с ростом i убывает до 0. Это означает поточечную сходимость поверхностей K(i) к B в том смысле, что расстояние каждой точки С-плоскости до ближайшей точки поверхности конуса стремится к нулю. Это расстояние для каждого i непрерывная функция точки плоскости, поэтому на любом ncp`mhwemmnl подмножестве плоскости B сходимость равномерная. По лемме 1 при любом автоморфизме образ B будет поточечным пределом образов поверхностей конусов K(i) , а это снова будет С- плоскость, поскольку автоморфизмы сохраняют вложенные системы И- конусов. Таким образом все С- объекты при автоморфизмах переходят в С-объекты того-же типа.
По лемме 2 образ Р-прямой является пересечением образов двух С- плоскостей, а это, по доказанному выше , пересечение двух С- плоскостей, внешнее к И- конусу (образу И-конуса из доказательства леммы 2), т. е. Р-линия. Поскольку на Р- плоскости все линии являются Р- линиями, то при автоморфизме все прямые на Р- плоскости перейдут в прямые. Любые три прямые, пересечение которых образует треугольник, переводятся автоморфизмом в такие-же прямые. В силу непрерывности (лемма 1) и биективности автоморфизма, этот треугольник образов определяет плоскость, являющуюся образом исходной. Все прямые в образе будут Р-прямыми, поэтому образ остается Р-плоскостью.
Внутренность И-конуса переходит при автоморфизме во внутренность И- конуса. Поэтому из леммы 1 следует переход Т-линии в непрерывную линию внутри образа И-конуса. [¯]
Лемма 4.Автоморфизмы линейны на С- объектах и Р- объектах.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для Р-плоскости это доказано при доказательстве леммы 3. Поскольку каждая Р-прямая принадлежит какой-то Р-плоскости, то автоморфизм линеен и на ней. На С- плоскости, касательной к И-конусу и, следовательно, не входящей в него, все прямые - либо С- прямые, либо Р- прямые. Каждая из этих прямых переходит при автоморфизме в прямые. Значит, автоморфизм линеен на С-плоскости. Поскольку каждая из С- прямых входит в какую-нибудь С- плоскость, то и на С-прямых отображение линейное. [¯]
Завершение доказательства теоремы. Зададим некоторую Р- плоскость А и С-линию В. Любая точка Rn может быть разложена в векторную сумму x = a+b, a = a(x) О A, b = b(x) О B. Любая прямая в Rn для некоторых векторов a О A, b О B может быть записана в параметрической форме x(t) = at+bt,, t -действительное число. При каждом t точку x можно интерпретировать как конец ломанной, построенной из двух отрезков at и bt , которую запишем ta-tb . После применения автоморфизма u эта ломанная (по лемме 4) перейдет в tua-tub . Разложив образы по исходному базису получим: ua = v+w; ub = f+g; v,f О A; w,g О B; ux(t) = t(v+f)+t(w+g), но это значит, что произвольная прямая в коническом пространстве переводится автоморфизмом в прямую, то есть при n = 3 все автоморфизмы линейны. Случай n > 3. Заметим, что докозательство для n = 3 нигде не использовало отображение конического пространства на себя. Доказано, что гомеоморфный образ трехмерного конического пространства всегда линейное отображение. Допустим это доказано для n = m. Перейдем к n = m+1 . Математическая индукция. Выберем mejnrnpi базис Rn = L(e0,e1,...,em), e0 -ось И-конуса. Можно записать алгебраическую сумму: Rn = L(e0,e2,...,em)+ L(e0,e1,...,em-1). Каждое из слагаемых - m-мерное коническое пространство. При автоморфизме (или гомеоморфизме) u образы этих подпространств такие-же пространства, причем, по предположению индукции, отображения линейные. Из биективности отображения u следует сохранение размерности пространства, т.е. в uL(e0,e1,...,em-1) содержится прямая uL, лежащая вне uL(e0,e2,...,em). Обозначив B = L(e0,e2,...,em), можно буквально повторить доказательство линейности автоморфизма для трехмерия. Это завершает индукцию и доказательство теорем. [¯]