Ключевая идея состоит в том, чтобы при описании атомных и субатомных объектов рассматривать в качестве “первичного кирпичика” модели не материальную точку, а осциллятор или набор осцилляторов. С математической точки зрения это в точности отвечает подходу Гейзенберга. С физической точки зрения это проливает яркий свет на причину усложнения представлений о координате и траектории частицы, о коммутации физических величин и возможности одновременного их измерения, о “собственном” моменте вращения частицы, о двух классах частиц (фермионы и бозоны).

u = u_m sin ωt,

i = i_m sin(ωt + φ),

s = u · i

s = (u_m i_m /2) [cos φ - cos (2ωt - φ)]

Первое слагаемое равно постоянной величине, это – активная мощность, необратимо рассеиваемая ветвью. Второе слагаемое пульсирует с частотой 2ω θ средним нулевым значением, оно отвечает чисто колебательному обмену энергией.

U = (u_m /) [cos ωt + i sin ωt] = (u_m /) e ^iωt

I = (i_m /) [cos (ωt + φ) + i sin (ωt + φ)] = (i_m /) e ^i(iωt+φ)

S = (u _m i _m/ 2) e ^iφ = (u _m i _m/ 2) (cos φ + i sin φ )

Таким образом, при записи полной мощности в виде комплекса (в отличие от мгновенной мощности) в выражение для нее частота ω и время t больше не входят. Реактивная мощность также представлена через интегральные характеристики u_m и i_m , относящиеся к периоду в целом.

Итак, для совершенно неквантового объекта мы получили выражение вида X*·Y, определенно напоминающее квантовую конструкцию типа Ψ*·Ψ. Δалее, заметим, что полная мощность ветви S=U*·I не равна произведению S*=U·I*, так что и разность, составленная из этих двух произведений, не будет равна нулю. Поэтому мы не столкнемся ни с какими логическими затруднениями, если определим коммутатор комплексов тока и напряжения ветви:

[U, I] = U*·I - U·I* = S – S* = u_mi_m (i sin φ).

[X, Y] = X*·Y - X·Y*

[X, Y] = - [Y, X]

{X, Y} = X*·Y + X·Y*

{X, Y} = {Y, X}

Разумеется, эти результаты не ограничиваются теорией электрических цепей, а справедливы для любой системы, в которой имеют место гармонические процессы. Очевидным примером такой системы является одномерный механический осциллятор – локализованная в пространстве материальная частица, движущаяся в весьма общем случае под действием упругой силы и силы трения. Движение осциллятора под действием внешней гармонической силы с частотой ω описывается в точности теми же уравнениями, что и вышеописанные процессы в электрической цепи. При сделанных предположениях координата q и импульс p частицы, представленные в виде комплексов, можно записать в виде:

Q = (q_m /) [cos ωt + i sin ωt]

P = (p_m /) [cos (ωt + φ) + i sin (ωt + φ)]

Произведение d = q·p определяет физическую величину, именуемую действием. Для нашего осциллятора комплекс действия будет, очевидно, равен:

D = Q*·P = (q_m p_m/ 2) (cos φ + i sin φ )

[Q, P] = Q*·P - Q·P* = D – D* = q_m p_m (i sin φ).

{Q, P} = Q*·P + Q·P* = D + D* = q_m p_m cos φ.

D₀ – D₀* = Q*₀· P₀ - Q₀· P*₀ = i q_m p_m.

Несложно также проверить, что для такого осциллятора соответствующий антикоммутатор будет равен D₀ + D₀* = 0, поскольку D₀ = - D₀*.

В случае двумерного механического осциллятора без потерь мы имеем дело уже не с одной, а с двумя степенями свободы. При равенстве максимальных значений q_m , p_m и частоты колебаний ω новая степень свободы сводится к фазовому сдвигу между колебаниями вдоль различных пространственных осей. Таким образом – и это очень важное обстоятельство! – двумерные осцилляторы могут иметь дополнительное физическое различие, которого в принципе не могло быть у одномерных (в том числе в электрических цепях) осцилляторов.

Назовем двумерным осциллятором 1-го рода такой, у которого колебания вдоль обеих пространственных осей происходят синфазно, т.е. фазовый сдвиг между ними равен нулю. Двумерным же осциллятором 2-го рода назовем такой, у которого этот фазовый сдвиг между колебаниями вдоль различных осей составляет четверть периода (со знаком “плюс” или ”минус”. Достаточно рассмотреть сдвиг одного знака; если сдвиг имеет противоположный знак, можно мысленно переставить номера у пространственных осей).

Если рассматривать коммутаторы и антикоммутаторы для величин Q и P, взятых для одного и того же пространственного направления, то ничего нового мы не получим в силу независимости пространственных степеней свободы. Если же величины Q и P выбраны для различных пространственных осей, то для осциллятора 2-го рода результат окажется совершенно иным, нежели в предшествующем случае или по сравнению с осциллятором 1-го рода. В самом деле, благодаря фазовому сдвигу в четверть периода между колебаниями по различным осям у осциллятора 2-го рода, фазовый сдвиг между импульсом по одной оси и координатой по другой оси оказывается равным нулю, т.е. они окажутся совпадающими по фазе! В результате для осциллятора 2-го рода мы приходим к соотношениям:

D_xy = Q_x*· P_y = q_m p_m/2 = Q_x· P_y* = D_xy*,

[Q_x, P_y] = D_xy - D_xy* = 0,

{Q_x, P_y} = D_xy + D_xy* = q_m p_m ,

[Q_x, P_y] = iq_m p_m , {Q_x, P_y} = 0

Интересно и важно интерпретировать этот результат с геометрической точки зрения. Если осциллятору 1-го рода отвечает в качестве фазовой траектории прямая линия с углом наклона 45 градусов, то осциллятору 2-го рода – окружность радиуса . Иными словами, в последнем случае речь фактически идет о вращении точки по кругу указанного радиуса. С формальной точки зрения это явление ничем не отличается от материальной точки, вращающейся (например, в центральном поле с потенциальной энергией, обратно пропорциональной расстоянию от центра вращения - кеплерова задача, см. [Ландау и Лифшиц, 1965]), если только считать радиус вращения заданным, а переменными величинами – проекции радиуса на две координатные оси.

Действительно, сила приложенная к осциллирующей частице (осциллятору 2-го рода), будет равна kr ; если ее приравнять к центробежной силе mv²/r, то кинетическая энергия осциллятора kr²/2 будет в точности равна кинетической энергии вращающейся частицы mv²/2. Проекции радиуса и импульса на две координатные оси будут меняться, как уже было отмечено, по гармоническому закону: если проекция координаты меняется со временем по косинусу, то соответствующая проекция скорости и импульса – по синусу, и наоборот.

Поскольку частота колебаний по обеим осям одна и та же, то суммарная величина действия для вращающейся точки (с учетом двух степеней свободы) будет равна d = p_mq_m. Легко найти простое соотношение между механическим моментом M вращающейся точки и ее действием d. Действительно, оперируя с модулем расстояния r и модулем скорости v, можем написать:

Как видим, в этом важном случае момент просто совпадает по величине с действием. С другой стороны, именно величине q_mp_m равен антикоммутатор {Q_x, P_y}, поэтому можно утверждать, что этот антикоммутатор просто равен моменту M_z.

Величину момента в более общем случае легко найти прямыми вычислениями. Пусть φ – произвольный фазовый сдвиг колебания вдоль оси y относительно колебаний вдоль оси x. Мгновенное значение момента m_z равно:

m_z(t) = q_x(t)p_y(t) - q_y(t)p_x(t) = q_mp_m [sin ωt cos(ωt + φ) -

sin (ωt + φ) cos ωt] = q_mp_m sin (- φ) = - q_mp_m sin φ

При φ, равном четверти периода, получаем |m_z(t)| = q_mp_m. Выполняя аналогичные вычисления в комплексной форме и осуществляя усреднение путем использования произведения вида Q*P, находим:

M_z = Q_x*P_y - Q_y*P_x =

= (q_mp_m /2)[e^{-i ωt} · i · e ^{i(ωt + φ)} - e ^{– i (ωt + φ)} · i · e ^iωt] =

= i (q_mp_m /2) 2 sh (iφ) = i q_mp_m sin φ

При φ, равном четверти периода, получаем M_x= i q_mp_m.

Таким образом, в рамках классической механики мы фактически пришли к представлению о “собственном” вращении частицы (спине), обусловленном лишь конкретным значением фазового сдвига между колебаниями вдоль разных пространственных осей.

M_x M_y – M_y M_x = iћM_z

В рамках предлагаемого нами подхода естественно ожидать, что и в классическом случае для трехмерных осцилляторов с произвольными фазовыми сдвигами между колебаниями вдоль различных осей могут быть выведены аналогичные правила коммутации. Действительно, пусть фазовый сдвиг колебания вдоль оси y относительно колебания вдоль оси x равен α, а фазовый сдвиг колебания вдоль оси z относительно колебания вдоль оси y равен β. Тогда фазовый сдвиг колебания вдоль оси z относительно колебания вдоль оси x будет равен (α + β), т.е. между тремя фазовыми сдвигами существует одно простое соотношение.

Чтобы сконструировать требующиеся соотношения, для момента вращения M_xy = i sin α в плоскости (xy) определим также комомент M^с_xy = i cos α. Если момент характеризует один предельный случай – двумерных колебаний с фазовым сдвигом между осями в четверть периода (и круговой орбитой), то комомент характеризует другой предельный случай – с нулевым фазовым сдвигом (возвратно-поступательное движение). В совокупности момент и комомент определяют реальную эллиптическую орбиту, отвечающую углу α. Заметим также, что при инверсии порядка координатных осей плоскости вращения знак момента изменяется на противоположный, тогда как знак комомента не меняется, т.е.:

M_xy = i sin α, M_yx = – i sin α, M^с_xy = i cos α. M^с_yx = i cos α.

Сходный с квантовомеханическим аналогом результат может быть теперь представлен в следующем виде:

M^с_xy M_yz – M_yx M^с _zy = i (q_mp_m) M_zx

Действительно, находим с учетом связи между знаком момента и порядком следования индексов координатных осей:

M^с_xy M_yz – M_yx M^с _zy =

= (q_mp_m)² [(i cos α)(i sin β) – (– i sin α)(i cos β)] =

= (i q_mp_m)²[cos α sin β + sin α cos β] =

= (i q_mp_m)² sin (α + β) = i q_mp_m M_zx

Заметим, перед моментом M_zx в окончательном результате стоит классическое действие q_mp_m данного осциллятора.

Попробуем проанализировать полученные результаты. Они основаны на том, что вместо описания классического механического осциллятора с помощью действительных величин мы воспользовались комплексным представлением. Если силой трения можно пренебречь, то обычно выражение для полной (действительной) энергии H осциллятора (а она является величиной постоянной) записывают в виде

где q – координата частицы, p – ее импульс, k - коэффициент упругости, T - кинетическая энергия, U - потенциальная энергия частицы.

Используем альтернативный подход, при котором полная энергия такого осциллятора (обозначим ее теперь буквой E) представляется комплексной величиной (см., например, [Рандалл, 1989]) и записывается в виде

Примечание: Заметим, что гамильтонова функция Е при этом оказывается просто комплексно сопряженной к функции Лагранжа L(p, q) = T – iU !

Энергия E, будучи комплексной величиной, кроме амплитуды (которая также является в данном случае постоянной) характеризуется еще и меняющейся во времени фазой.

{p, q} = 1

В квантовой механике коммутатор импульса и координаты равен СП, умноженной на константу с размерностью действия и деленной на мнимую единицу. Если аналогично определить СП через введенный выше коммутатор [P, Q] для действия осциллятора, имеющий чисто мнимую величину, то после сокращения на размерную константу и мнимую единицу получим в точности классическое соотношение для СП. Различие, разумеется, состоит в том, что для классического осциллятора константа с размерностью действия выражается через его индивидуальные характеристические параметры q_m и p_m, а в квантовой механике эта константа всегда имеет универсальное значение ћ. Вопрос о том, почему это так, рассматривается в следующей главе.

А что будет, если внешнее воздействие, приложенное к ветви электрической цепи или к механическому осциллятору, окажется не моногармоническим, а равным сумме нескольких гармоник, например, двух (с частотами ω₁ и ω₂)? Будем искать ответ в терминах примера с электрической цепью. И напряжения, и токи подчиняются принципу суперпозиции, поэтому мы должны начать с вычисления мгновенной мощности вида

s = (u₁ + u₂) · (i₁ + i₂)

s = (u₁· i₁) + (u₂· i₂) + (u₁· i₂) + (u₂· i₁)

S = S₁ + S₂ + S₁₂ + S₂₁

где S₁ = U₁*·I₁ , S₂ = U₂*·I₂ , а S₁₂ и S₂₁ – некоторые комплексные выражения.

Выражение S₁ + S₂ отвечает суммарной полной мощности и содержит, помимо активной, теперь уже две реактивные компоненты. Эти колебательные компоненты относятся теперь уже к двум различным периодам, связанным с частотами 2ω₁ и 2ω₂. С другой стороны, ни S₁₂, ни S₂₁ не могут содержать активных компонент, т.к. при умножении напряжений на токи в них происходит вычитание и сложение двух положительных различных (а не одинаковых) частот. Поэтому эта сумма должна быть равной сумме двух реактивных компонент, соответствующих разности и сумме частот ω₁ и ω₂ (в пределе, при равенстве частот, получаем 0 и 2ω).

На основании этих правил для характеристик чисто гармонического процесса и по аналогии с квантовой теорией можно с полной уверенностью ожидать существования “соотношения неопределенностей” и для комплексов в наших примерах (здесь речь идет о “математическом” аспекте). На самом деле оно сводятся к тому, что оценка для дисперсии произведения отклонений значений комплексов P и Q (коммутатор которых равен PQ* - PQ* = ip_mq_m) от математического ожидания составит не менее (p_mq_m/2).

Наличие даже одной колебательной составляющей порождает важные следствия. Так, в различные моменты времени мы будем наблюдать различные значения наблюдаемой величины в соответствии с фазой колебаний. Иными словами, если фаза нам не известна или не учитывается, то мы вынуждены говорить о некотором распределении значений наблюдаемой величины во времени. Более того, при наличии сдвига фаз у двух характеристик мы не сможем в данный момент времени (т.е. одновременно) определить, например, амплитуды значений обеих величин. И этот эффект не имеет никакого отношения к тайнам квантового мира и позволяет по-новому взглянуть на т.н. теорему о “скрытых” параметрах!

ω_mn = ω_m - ω_n

(и соответствующие энергии E_mn = ћω_mn) для переходов из состояния с номером m в состояние с номером n . Таким образом, для разностных частот мы имеем адекватную аналогию между квантовомеханическим и развитым нами подходами.

Что касается суммарных частот, то в квантовой теории мы их не встречаем. Объяснение этому факту я предлагаю следующее. Как известно, видимое электромагнитное излучение охватывает диапазон частот от 4·10¹⁴ до 7.5·10¹⁴ Гц, что соответствует энергии перехода между электронными уровнями в атоме от 1.65 до 3.1 эВ. Именно на законах оптического излучения и основывались создатели квантовой механики. Если предположить, что только разности реальных частот колебаний в атоме лежат внутри оптического диапазона, а суммы этих частот имеют значительно более высокие значения, то можно понять, почему их наличие до сих пор игнорируется.

В свою очередь, объяснение такого различия в порядке величины между разностями и суммами частот я вижу в том, что к энергии электронных уровней, вычисляемой из нерелятивистского уравнения Шредингера, должна прибавляться энергия покоя электрона, равная 0.511 МэВ (что отвечает частоте волны более 10¹⁷ Гц). При вычислении разности частот это слагаемое исчезает, а вот при вычислении суммы частот - удваивается, что выводит излучение в диапазон гамма-квантов с энергией более 1 Мэв. Физически схема выделения или поглощения такой энергии может быть связана с аннигиляцией электрона и позитрона или их рождением из гамма-кванта, несущего достаточную энергию. Интенсивность подобных процессов должна быть весьма низкой, что в рамках нашей классической электротехнической модели может быть связано с ничтожной величиной фазового сдвига между напряжением u_m и током i_n в “перекрестном” слагаемом (u_m· i_n) для мощности при таких высоких частотах.

Рассмотрим еще одну интересную аналогию. Для квантового осциллятора (в частности, фотона) через операторы координаты q и импульса p можно определить новые операторы :

a =[ с q + i с ^-1 p]

a⁺ = [ сq – i с^-1 p]

где c = . У оператора a⁺ отличны от нуля матричные элементы, отвечающие переходам n –> (n + 1), т.е переходу с увеличением квантового числа n на единицу. У оператора a отличны от нуля матричные элементы, отвечающие переходам n –> (n – 1), т.е переходу с уменьшением квантового числа n на единицу. Поэтому оператор a⁺ называют оператором рождения возбуждения, а оператор a ^- оператором поглощения возбуждения.

a a⁺ = [с²q² + с ^-2p² + i (pq – qp)]

a⁺a = [ с²q² + с ^-2 p² + i (qp - pq)]

a a⁺ - a⁺a = 2 i (pq – qp) = i (pq – qp)/ћ

Поскольку pq – qp = (ћδ / i), где δ – единичный оператор, то

a a⁺ - a⁺a = δ

(Это соотношение справедливо для бозонов, тогда как для фермионов действует иное правило: a a⁺ + a⁺a = δ).

Обратимся теперь к нашей модели классического осциллятора с использованием комплексов. Аналогия между двумя моделями не будет полной, поскольку квантовый осциллятор имеет существенно (пространственно) нелокальную природу. Это находит свое отражение в эквидистантности энергетических уровней, расстояние между которыми равно w ћ. Если, однако, принять в качестве внешнего условия для классического осциллятора при наличии полигармонического процесса, что отношение энергий соседних гармоник равно (E_n+1)/(E_n) = (n+1)/n, то очевидно, что отношение импульсов и координат составит (p_n+1)/(p_n) = (q_n+1)/(q_n) = [(n+1)/n]^1/2.

В нашей модели нетрудно также построить комплексы для генераторов поглощения и возбуждения колебаний, аналогичные операторам a и a⁺ и реализующие сходные конструкции. Действительно, представим усредненное действие D_xy для двумерного осциллятора в виде:

D_xy = Q_x*P_y = p_mq_m (cos φ + i sin φ)

D_xy* = Q_xP_y* = p_mq_m (cos φ - i sin φ)

Введем теперь (нормированный на ) комплекс G₊ с помощью соотношения:

G₊ = (cos φ/2 + i sin φ/2)

и сопряженный к нему комплекс G_– :

G_– = (cos φ/2 - i sin φ/2)

2G₊ G_–* = 2G₊G₊ = (cos φ/2 + i sin φ/2)² =

= (cos² φ/2 - sin² φ/2) + 2i cos φ/2 sin φ/2 = cos φ + i sin φ

2G₊*G_– = 2G_– G_–= (cos φ/2 - i sin φ/2)² =

= (cos² φ/2 - sin² φ/2) - 2i cos φ/2 sin φ/2 = cos φ - i sin φ

Из самого определения величин G₊ и G_– получаем правила коммутации для этих комплексов:

[G_– , G₊] = i sin φ, { G_– , G₊} = cos φ

Заметим также, что произведения как квантовых операторов aa⁺ и a⁺a, так и введенных нами для классической модели комплексов G*_–G₊ и G_–G₊*, благодаря сответствующей нормировке являются безразмерными. Важное отличие состоит в том, что для квантового осциллятора нормировочный множитель произведения с размерностью действия (постоянная Планка ћ) является универсальным, тогда как для каждого классического осциллятора он равен индивидуальному для него значению p_mq_m. Соответственно модуль каждого из двух комплексов G₊ и G_– по величине равен единице.

2.10. Возвращаясь к квантовой механике

Коль скоро нашей исходной предпосылкой было наличие процессов, гармонически зависящих от времени, мы должны уточнить их место и значение в задачах квантовой механики. Не секрет, что нерелятивистская квантовая механика занимается в основном стационарными процессами. Как правило, решение уравнения Шредингера сводят к виду

ψ(t, r) = exp(-iE/ ћ) ψ₀ (r),

где E – энергия, а ψ₀ – уже не зависящая от времени функция, которая ищется в соответствии с граничными условиями конкретной задачи. Чаще всего про множитель exp(-E/ћ) в дальнейшем вообще не вспоминают. Между тем, как мы видели, имеются все основания отнестись к этому гармоническому колебательному фактору с достаточным вниманием.

Наконец, заметим, что среднее значение L физической величины в квантовой механике дается выражением

L = ∫ Ψ*·LΨ·dV

где L - оператор соответствующей физической величины. Здесь усреднение по пространству обеспечивается интегрированием по объему, тогда как структура подынтегрального выражения Ψ*·LΨ, как становится ясно из предшествующего изложения, соответствует усреднению по времени.

В 1923 г. Луи де Бройль сопоставил произвольной покоящейся частице с массой покоя m некоторый колебательный процесс вида

ψ (t) = A sin w t,

w ћ = mc²

Согласно теории относительности, в движущейся со скоростью v системе отсчета (помеченной штрихом) наблюдатель зарегистрирует бегущую волну вида

ψ' (x', t') = A sin w (t + x'c²/v),

длина λ’ которой выражается через (релятивистский) импульс p' частицы хорошо известным соотношением λ’ = h/p'.

Таким образом, возникновение “квантовой” волны в пространстве сам де Бройль связал с наличием гармонических колебаний во времени. Развивая эту идею, воспользуемся представлениями о природе времени, изложенными в [Шульман, 2003]. Согласно этим представлениям, ось времени – это нормаль к 3-мерному пространству в 4-мерном континууме с евклидовой метрикой. Переход частицы от покоя к движению отвечает отклонению мировой линии от нормали на угол, синус (а не тангенс!) которого равен v. Вследствие этого колебания вдоль оси времени частично трансформируются в колебания вдоль пространственной оси. Очень условно максимумы этих колебаний можно было бы представить себе в виде совокупности продольных периодических осцилляторов, так что их пространственный период отвечал бы длине волны, а число осцилляторов соответствовало бы числу волн, укладывающихся в области существования колебаний.

Теперь я готов предложить читателю свой ответ на вопрос о том, почему коммутатор действия для классического осциллятора зависит только от его локальных характеристик, а для квантового осциллятора определяется универсальной мировой постоянной. При переходе к квантовой механике заменяют индивидуальную константу действия (D_m = p_mq_m/2) на постоянную Планка. При этом можно предположить, что постоянным окажется и произведение p_mq_m для всех осцилляторов, и что этому обстоятельству удастся найти естественное обоснование.

Рассмотрим вначале нерелятивистское описание частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной b. Эта классическая задача квантовой механики имеет хорошо известное решение (полученное из уравнения Шредингера), согласно которому волновая функция описывается гармоническим законом

ψ (x) = A sin (2πq /λ + α),

где A и α – константы, λ = (2mE/ћ²) ^½ – длина волны, уровни энергии частицы E квантуются и равны (m - масса частицы):

E_n = π² ћ² n²/2mb

и, в частности, наименьшее значение λ₁ равно удвоенной ширине потенциальной ямы. Что касается импульса, то его квантованные уровни равны

p_n = πžn/b = 2πž/λ_n = h/λ_n

Таким образом, приняв величину импульса частицы в потенциальной яме заданной, мы однозначно фиксируем и длину волны де Бройля, отвечающей частице. Мы также приходим к неизбежному выводу, что для такой потенциальной ямы конечной ширины величина произведения ее импульса на длину волны де Бройля всегда равна константе h. Единственное разумное объяснение неизменности этого произведения состоит в том, что (по крайней мере, в данной задаче) импульс с точностью до масштабного множителя совпадает с числом (полу)периодов волновой функции.

Как известно, исторически уравнение Шредингера было выведено его автором путем обобщения выражения для волны де Бройля свободной частицы. Небесполезно проделать обратный путь – от потенциальной ямы вернуться к свободной частице, сделав при этом одно существенное предположение. Это предположение состоит в том, чтобы считать размер Вселенной конечным, хотя и очень большим. Оно согласуется с концепцией, предложенной (в том числе) в [Шульман, 2003].

Фундаментальная связь между импульсом и длиной волны остается той же самой и для фотона - частицы с массой покоя, равной нулю. Как известно, импульс фотона p_ф связан с его длиной волны λ соотношением

p_ф = h/λ

Если все высказанные рассуждения справедливы, если постоянство произведения числа полуволн на длину этой полуволны действительно связано с тем фактом, что длина полуволны по определению равна длине базы, деленной на число полуволн, то постоянная Планка должна быть пропорциональна периметру Вселенной! Иными словами, для периметра Вселенной L должно выполняться соотношение

где p₁ – наименьший возможный импульс свободной частицы во Вселенной. Таким образом, эта новая величина принимает статус фундаментальной константы взамен постоянной Планка h. Сама же постоянная Планка теперь оказывается зависимой от радиуса Вселенной, т.е. от ее возраста.

В работе [Шульман, 2003] я высказывал убеждение, что энергия в расширяющейся Вселенной не должна сохраняться, т.к. физические свойства Вселенной оказываются зависящими от ее возраста. Так, представляется очевидным, что от возраста Вселенной зависят компоненты фундаментального метрического тензора. Теперь же выясняется, что принципы квантовой механики позволяют выявить зависимость от возраста (и размера) Вселенной конкретных физических параметров, входящих в основные физические законы.

Если наша гипотеза о росте ћ с увеличением возраста Вселенной справедлива, то и произведение погрешностей одновременного определения сомножителей в левой части соотношения неопределенностей должна увеличиваться пропорционально возрасту Вселенной. Это следует понимать в том смысле, что абсолютная величина погрешности величин ∆p (или ∆E в соотношении ∆E∆t ≥ ћ ) увеличивается пропорционально соответствующему увеличению p (и E), тогда как относительная погрешность определения ∆p/p и ∆E/E не изменяется.

Напомним, что с энергией покоя связана определенная частота колебаний ω = mc²/ћ. Как мы видели во 2-й главе, бозонам можно поставить в соответствие двумерные осцилляторы 1-го рода, для которых колебания вдоль двух различных пространственных осей точно совпадают по фазе. Это значит, что их энергию покоя действительно можно считать строго колебательной.

В то же время фермионам отвечают двумерные осцилляторы 2-го рода. Поскольку для них колебания вдоль одной пространственной оси сдвинуты на четверть периода относительно колебаний вдоль другой оси, то в целом энергия покоя должна теперь рассматриваться как энергия вращения. Соответствующая часть действия для рассматриваемой системы в приближении малой скорости равно D = mcr. В квантовой механике мы должны считать все подобные объекты нелокальными, т.е. считать, что гармоники радиуса пробегают значения от де-Бройлевской волны до периметра Вселенной. Поэтому следует заменить индивидуальное в классическом случае значение D на универсальную константу ћ. С учетом наличия у рассматриваемой системы двух степеней свободы, на каждую из них приходится ћ/2. Амплитуда 1-й гармоники двумерных колебаний оказывается порядка радиуса электрона.

Нелокальность квантового мира проявляется не только в идентичности характерного размера осцилляторов и существовании универсальной константы действия. Все пpоблемы квантовой теории глубоко связaны между собой и не могут быть pешены по отдельности. Почему квaнтовaя теоpия дaет веpоятностные пpедскaзaния? Кaким обpaзом пpоисходит pедукция волновой функции пpи измеpении? Связaн ли исход физических событий с нaличием нaблюдaтеля? С другой стороны, почему классическая причинность радикально отличается от квантовой (ЭПР) и почему законы для крикетного шара иные, чем для электрона [Пенроуз, 2003] ? Р Пенроуз пишет: “Часто высказывают мнение, что в некотором подходящем пределе квантовые описания атомов (или элементарных частиц, или молекул) с необходимостью переходят в классические ньютоновские описания, когда система увеличивается в размерах и усложняется. Но в такой формулировке такое утверждение просто неверно.”

Теперь я попытaюсь дaть нетривиальный ответ на вопросы, приведенные в начале этого подраздела. Корпускулярно-волновой дуализм представляет собой своего рода гордиев узел, который, как я считаю, развязать невозможно, но можно лишь разрубить, заплатив за это, разумеется, соответствующую цену. Поэтому попробуем уяснить себе, какие утверждения мы должны принять как первичные факты, что бы мы об этом ни думали. Эти факты заключаются в том, что:

• Существуют субатомные объекты, описываемые некоторой волновой функцией, при этом мы в принципе можем предсказывать их будущее состояние лишь вероятностным (не однозначным) образом.
• Существуют классические объекты, для которых прекрасно работают законы обычной физики и детерминистический принцип причинности.

Материя в природе организована на двух уровнях.

Эволюцию во времени состояния классических объектов в некотором смысле можно уподобить линейной цепочке из кубиков, на каждом из которых нанесена какая-либо буква.. Из набора таких кубиков, помеченных символами, можно составлять самые разные цепочки, образующие слова. В общем случае движение от начала цепочки к концу не симметрично движению в обратном направлении, так что эти два направления можно легко различить (например, цепочка, образующая слово “физика”, начинается с буквы “ф”, а кончается буквой “а”).

Каким же должно быть описание микроскопических частиц? Они должны описываться теми же волновыми уравнениями, которые, собственно, и используются в квантовых теориях. Разница проявляется только в интерпретации волновой функции. На смену старой и “доброй” статистической интерпретации Борна приходит идея о том, что волновая функция описывает распределение кривизны в определенной 4-мерной области пространства-времени, причем поведение функции обусловлено граничными условиями по всей пространственно-временной оболочке указанной области. В понятие граничных условий мы теперь с необходимостью включаем не только начальные условия, но и конечные!

Следующий логический шаг состоит в том, чтобы вспомнить о 4-мерности Вселенной. В действительности мы должны рaссмaтривaть как мировые линии чaстиц, так и мировые облaсти волновых процессов в их 4-мерной протяженности, тогда как их проеции на пространственные и временную компоненты зависят лишь от выбора физической системы отсчета. Хотя этот тезис имеет весьма общий характер, однако именно в применении к проблеме нелокальности он приобретает весьма нетривиальное значение. Учет 4-мерного хaрaктерa реaльного Мирa лишaет физического смыслa описaние чисто прострaнственной нелокaльности. Следовaтельно, для нелокaльных процессов нельзя говорить о состоянии не только в определенной точке 3-мерного прострaнствa, но и в определенный момент времени.

Поэтому кapтинa дифpaкции электpонa зaвисит от полной конфигуpaции опытa; поэтому не имеет смыслa сaмa постaновкa вопpосa о жизни и смеpти кошки Шpедингеpa в "пpомежуточные" моменты вpемени между сpaбaтывaниями "квaнтовой гильотины". Поэтому физикам не следует зaботиться о нaличии нaблюдaтеля (быть может, сaмого Господa Богa), a тaкже о пpaвильном paзгpaничении между "микpоскопическими" и "мaкpоскопическими" измеpитель-ными пpибоpaми, чтобы гapaнтиpовaть коллaпс волновой функции в момент измеpения. Измеpение (нaблюдение) игpaет pоль в точности в той меpе, в котоpой оно сaмо по себе зaдaет финaльное условие. Если именно оно способно фиксиpовaть пapaметpы волновой функции, то это и пpоисходит; если же, нaпpимеp, пapaметpы измеpительного устpойствa несоpaзмеpны пapaметpaм микpопpоцессa, либо оно (устройство) лишь усpедняет зaфиксиpовaнные иными обстоятельствaми pезультaты многих микpопpоцессов, то можно пpенебpечь влиянием тaкого измеpительного устpойствa/нaблюдения. Сaм пpоцесс измеpения пpедстaвляет собой нaбоp финальных условий, фиксиpующих pезультaт измеpения.

Пусть, нaпpимеp, pечь идет о пapaх когеpентных фотонов, для котоpых поляpизaция измеpяется с помощью фильтpов. В этом случaе пеpиод T модулиpующей чaстоы должен пpевосходить вpемя пpолетa фотоном paсстояния L между источником и детектоpом, поэтому должно быть T > L/c, т.е. эффективнaя скоpость пеpедaчи инфоpмaции не может быть больше величины c. Иными словaми, paзлетaющиеся когеpентные фотоны в течение всего пpомежуткa вpемени (в произвольной системе отсчета) от момента излучения до момента детектиpовaния пpедстaвляют собой нелокaльный не только в пространстве, но и во вpемени aнсaмбль. Любое пpомежуточное измеpение (или новый aкт излучения, влиящий нa результaты измерения) этот aнсaмбль paзpушило бы, поpодив новые чaстичные aнсaмбли, не состaвляющие пеpвонaчaльного. Таким образом, квaнтовaя мехaникa сaмa содеpжит в себе огpaничения (мехaнизм коppеляции во вpемени), котоpые устpaняют возможный, кaзaлось бы, пapaдокс свеpхсветового взaимодействия в пpостpaнстве.

Как известно (см., в частности, замечательную монографию [Гельфер и др., 1975]), из классической статистики следует неправильное выражение для энтропии идеального газа, которое противоречит требованию ее аддитивности при разделении на части объема, зполненного газом. Устранить это противоречие удалось только путем изменения способа подсчета статистической суммы, т.е. ценой отказа от классической статистики. Основная идея принадлежит основоположнику статистической механики Гиббсу, который предложил считать за одно микросостояние все микросостояния однокомпонентного газа, отличающиеся любыми перестановками атомов. В результате получается правильное выражение, обладающее аддитивностью, однако обоснование идея Гиббса получила лишь в квантовой механике.

С вышеописанным связан и парадокс Гиббса, который состоит в следующем. Пусть некоторый объем, заполненный идеальным газом, сначала разделен непроницаемой перегородкой на две равные части. Удаление перегородки вследствие необратимой диффузии должно привести, с одной стороны, к увеличению энтропии всей системы на величину D S = 2kN ln2, где k – постоянная Больцмана, N - число частиц каждого газа. С другой стороны, если частицы газа, их давление и температура идентичны, то удаление перегородки не меняет термодинамического состояния системы и, следовательно, изменение энтропии должно быть нулевым. Таким образом, подчеркивают авторы цитируемой монографии, создается впечатление, что сколь бы ни были близки по своим свойствам два чем-то различающихся газа, при их смешивании энтропия увеличивается на одну и ту же величину, в то время как для абсолютно одинаковых газов увеличение энтропии отсутствует.

• считается доказанной абсолютная тождественность всех элементарных частиц данного типа (например, электронов);
• утверждается радикальное отличие поведения, волновой функции и статистики для системы тождественных между собой частиц от поведения, волновой функции и статистики для системы сколь угодно близких, но различных частиц.

E = ∫ψ*(1, 2) Е_вз ψ(1, 2) dV₁ dV₂

где ψ(1, 2) – волновая функция системы двух частиц. С учетом реально выполняющихся принципов квантовой механики вид этой функции должен зависеть от степени θ тождественности частиц 1 и 2, а не только от конкретного вида взаимодействия (например, кулоновского). Иными словами, в действительности ψ = ψ(1, 2, θ). Οри этом оказывается, что, например, для двух электронов эта энергия в хорошем приближении представима в виде

E = Е₀ ± ΔE

где E₀ - энергия кулоновского взаимодействия, а ΔE – вклад во взаимодействие, обусловленный тождественностью электронов. При этом положительный знак отвечает антипараллельным спинам, отрицательный – параллельным спинам. Электроны с параллельными спинами как бы отталкиваются один от другого, чтобы не попасть в одну и ту же ячейку фазового пространства.

Дело здесь в следующем. С одной стороны, как уже отмечалось, существует взаимно-однозначная связь между правилами коммутации и значением спина. Бозонам (в общепринятой терминологии), или двумерным осцилляторам 1-го рода в нашем понимании, число которых в одинаковом состоянии ничем не ограничивается, отвечает следующее соотношение между операторами поглощения a и рождения a⁺ частиц:

a a⁺ - a⁺a = δ

где δ – единичный оператор. В то же время фермионам (в общепринятой терминологии), или двумерным осцилляторам 2-го рода в нашем понимании, число которых в одинаковом состоянии может быть равно лишь нулю или единице, отвечает иное соотношение между операторами a и a⁺:

a a⁺ + a⁺a = δ.

Учет правила коммутации 1-го типа необходимо приводит к статистике Бозе-Эйнштейна, тогда как правило коммутации 2-го типа однозначно определяет статистику Ферми-Дирака.

a a⁺ - a⁺a = δ

a a⁺ + a⁺a = δ

Для фермионов из теории Дирака следует существование, наряду с частицами, также и античастиц. Только при последнем условии для операторов a и a⁺ получается правильное выражение для суммарной энергии частиц и античастиц

E = Σ ε_i N_i ⁽⁺⁾ + Σ ε_i N_i ^(-)

Q = e (Σ N_i ⁽⁺⁾ - Σ N_i ^(-))

где N_i⁽⁺⁾, N _i ^(-) - числа частиц и античастиц соответственно в i–ом состоянии.

Таким образом, к тому или иному выражениям для a и a⁺ приводят, с одной стороны, правила формирования статистики, а с другой – требования Лоренц-инвариантности спиноров четного и нечетного рангов, поэтому в конечном счете тип статистики оказывается однозначно связанным с рангом спинора (теорема Паули). В 1958 году было сформулировано в наиболее общем виде - если теория поля удовлетворяет условиям:

Хотелось бы еще отметить следующее: принцип Паули для частиц с полуцелым спином (фермионов) гласит, что в каждой ячейке фазового пространства объемом h³ не может находиться более одной такой частицы с данной ориентацией спина. Является ли этот принцип, как обычно молчаливо подразумевается, единственной альтернативой отсутствию любых ограничений?

Я думаю, с формальной точки зрения ответ должен быть отрицательным. Гипотетически мы могли бы допустить, наряду с возможностью произвольного числа частиц в некотором состоянии (и полной симметрией волновой функции), модифицированный принцип запрета, при котором в ячейке фазового пространства могло бы размещаться не более N тождественных частиц. При N = 1 мы получаем принцип запрета Паули, антисимметрию волновой функции относительно перестановки двух фермионов и двухкомпонентные спиноры как для частиц, так и для античастиц. При N = k (k > 1) мы получили бы слабый принцип запрета, специфическую симметрию относительно одновременной перестановки (k+1) тождественных частиц, которые описывались бы уже не спинорами, а (k+1)-компонентными величинами. Пришлось бы, видимо, ввести операторы поглощения и рождения нового типа и соответствующие коммутационные условия для них. Если бозоны могут рождаться и исчезать поодиночке, а фермионы – парами (частица плюс античастица), то наши гипотетические объекты возникали и поглощались бы тройками, четверками и т.п.

Вернемся теперь к центральной проблеме тождественности. Почему для тождественных объектов в реальном мире выполняются, как мы видели, иные законы, нежели для различных? Как именно устроен механизм рзличения тождественных и нетождественных объектов? Авторы монографии [Гельфер и др., 1975] предлагают красивый и убедительный подход к логическому решению этой проблемы, который основан на введении непрерывной меры различия свойств объектов.

В качестве простейшего примера авторы рассматривают два равных объема V. Газ А, заполняющий один из этих объемов, состоит из N атомов со спином ½, полностью поляризованных вдоль единичного вектора n. Газ Б, заполняющий другой из этих объемов, также состоит из N атомов со спином ½, полностью поляризованных вдоль другого единичного вектора m. Степень различия этих газов зависит от непрерывного параметра – угла θ между направлениями поляризации n и m, т.е. меры неортогональности состояний А и Б. Показывается, что прирост энтропия в результате перемешивания стремится к нулю, если к нулю стремится θ.

В третьих, если некоторая квантовая система представляет собой колебательную систему с несколькими степенями свободы, то при достаточно близком совпадении двух или нескольких нормальных частот она может начать себя вести особенным (резонансным) образом, т.е. не так, как в случае большого различия в частотах. Это означает, что мера тождественности состояний является не какой-то мистической и загадочной величиной, а непосредственно связана с мерой различия отдельных нормальных частот.

Почему же в квантовомеханических опытах близкие по свойствам частицы интерферируют, а далекие – нет? С моей точки зрения, причина может заключаться в следующем. Энергия (а значит, и частота колебаний) обязательно должна включать в себя энергию, отвечающую массе покоя частицы, если таковая имеется. Энергия покоя электрона составляет 0,511 Мэв, а энергия покоя более массивных частиц – тысячи Мэв. Интерференция частиц, называемых тождественными, возникает в сравнительно узкой резонансной полосе, исчисляемой единицами (и менее) эВ. Именно такие добавки энергии обусловлены различием уровней электронов в атоме.

Как известно, в отсутствие одинаковых корней решение линейного дифференциального уравнения содержит экспоненциальные члены с постоянными коэффициентами, а при наличии одинаковых (резонансных) корней добавляются аналогичные члены, умноженные на степенные множители. Это может породить иллюзию, что вид решения меняется скачком – при разных частотах собственных колеьаний он один, а при одинаковых частотах – иной (ср. с парадоксами статистической механики!). На самом деле с математической точки зрения описание колебаний с различными корнями переходит в описание резонансного случая непрерывным образом относительно частоты. Это легко показать, например, для линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка

y” + 2d y’ + (d ² - w ²)y = 0

при начальных условиях y(0) = y₀, y’(0) = z₀.

В случае, когда w ²>0, мы получаем апериодическое решение в виде

y = exp(-d t) [ y₀ ch(w t) + w ^-1(y_0d + z₀) sh(w t) ]

sh(w t) » w t + (w t) ³ /3! + (w t) ⁵ /5! + ... ,

y » exp(-d t) [ y₀ + (y_0d + z₀)t + (y_0d + z₀)w ² t³ /3! + ...]

В случае, когда w ²<0, мы получаем периодическое решение в виде

y = exp(-d t) [ y₀ cos(ï w ï t ) + ï w ï ^-1(y_0d + z₀) sin(ï w ï t ) ]

Поскольку при малых ï w ï t имеем

sin(ï w ï t ) » ï w ï t - (ï w ï t) ³ /3! + (ï w ï t ) ⁵ /5! - ...

y » exp(-d t) [ y₀ + (y_0d + z₀)t + (y_0d + z₀)w ² t³ /3! + ...]

где учтено, что в данном случае w ² = - ï w ï ² . Как видим, последнее выражение справедливо и для периодического, и для апериодического решений.

В случае, когда w ²=0, мы получаем резонансное решение (когда корни характеристического уравнения равны друг другу) в виде

y = exp(-d t) [ y₀ + (y_0d + z₀)t ]

D y(w ) » exp(-d t) [ (y_0d + z₀)w ² t³ /3! + ...]

т.е. непрерывна по этому параметру. Важно отметить, что это обстоятельство обусловлено наличием множителя w ^-1 в синусном члене решения; этот множитель возникает благодаря начальному значению первой производной и обычно не указывается при записи решения в общей форме.

Если энергия колебаний определяется в основном энергией покоя, то наличие такого известного явления, как дефект массы сложных частиц, может иметь следующее объяснение. Когда составные части удалены друг от друга и независимы, их энергия однозначно связана с энергиями соответствующих колебаний. При близком взаимодействии составляющих частиц их волновые функции могут приобрести определенный взаимный фазовый сдвиг, так что измеряемая внешним наблюдателем энергия сложного колебания будет в общем случае меньше. При распаде сложной частицы исходная ситуация восстанавливается.

Предположение о независимости различных степеней свободы в автономной колебательной системе с затуханием в действительности носит ограниченный характер, поскольку не выполняется в резонансной области, при совпадении временных характеристик. В частности, такая резонансная связь обязательно должна учитываться при решении задач статистической физики, где предположение о независимости обычно играет существенную роль. Дело в том, что физически затухание связано с выводом (диссипацией) энергии из системы; эта энергия из упорядоченной формы, отвечающей колебательному процессу, обычно переходит в тепловую форму, связанную с (хаотическим) излучением и поглощением фотонов и неупорядоченным движением в той же системе, что в конечном счете приводит к возрастанию в ней энтропии.

Замечание автора. До сравнительно недавнего времени я был склонен думать, что явление резонанса всегда связано именно со временем, и что сопадение характерных пространственных размеров не может быть связано ни с какими аналогичными эффектами. Однако теперь я пришел к выводу, что такое мнение ошибочно. Ярким примером являются фрактальные границы трех областей на комплексной плоскости – аттракторов итеративных решений кубичного уравнения (см. интереснейшую книгу[Шредер, 2001]). Каждая точка на изображающей плоскости ставится (процедурой итерации) в соответствие одному из корней уравнения, и фрактальность возникает именно там, где точки равноудалены от корней. Такие границы неизбежно должны быть фракталами, состоящими из множеств совершенно не связанных между собой точек — бесконечно тонким налетом несчетной числовой “пыли”.

Между тем существует еще один крайне интересный класс объектов, характеризующихся весьма небольшим числом индивидуальных свойств. Это – черные дыры. Пердоставлю слово автору книги [Кауфман, 1977]:

Поскольку черные дыры полностью описываются тремя параметрами (массой, зарядом и моментом количества движения), то должно существовать лишь несколько решений уравнений гравитационного поля Эйнштейна, причем каждое описывает свой "добропорядочный" тип черных дыр. Каждое из этих решений единственно - других возможных решений нет. Черная дыра характеризуется, самое большее, тремя параметрами – массой, зарядом (электрическим или магнитным) и моментом количества движения. Все эти возможные решения сведены в таблицу, приведенную на следующей странице.

В 1974 – 1975 г.г. С. Хокинг обнаружил, что вблизи черной дыры должны рождаться пары фотонов, один из которых падает внутрь черной дыры, а другой может уйти от нее (цитирую по [Киржниц]). Так возникает излучение черной дыры (эффект Хокинга). Свойства такого излучения в точности такие же, как у излучения черного тела, нагретого до температуры kT ≈ 10²⁶ /m (kT – в эргах, m – в граммах). Таким образом, эта температура обратно пропорциональна массе черной дыры. В процессе излучения масса черной дыры все быстрее уменьшается, а ее температура все быстрее растет, так что в конце концов происходит взрыв с выделением энергии порядка 10³⁰ эрг за время порядка 0,1 с.

Сходство закона излучения черной дыры и черного тела оказалось не случайным. Это было показано Дж. Бекенштейном (аспирантом Дж. Уилера) за несколько лет до работ Хокинга. Пусть первоначально имеются черная дыра и вдали от нее горячее тело, обладающее некоторым запасом энтропии. Черная дыра притянет к себе тело, которое в конце концов уйдет под горизонт событий. Тогда наблюдатель столкнется с явным нарушением второго начала термодинамики, согласно которому полная энтропия замкнутой системы (в данном случае системы черная дыра + тело) не может уменьшаться со временем - порядок в отличие от хаоса не может возникать сам собой. Ведь в начале энтропия системы равнялась энтропии тела, а в конце она исчезла, так как внутренность черная дыра наблюдателю недоступна.

Итак, черные дыры в отношении элементарности своих свойств подобны квантовым объектам. Можно предположить, что в обоих случаях мы имеем дело с существенным отличием метрики объектов от метрики 3-мерного евклидова пространства. С другой стороны, для квантовых объектов принципиальной является их нелокальность, тогда как для описания черных дыр концепции нелокальности не используются. Открытым остается вопрос, которым я и закончу эту книгу: подчиняются ли ансамбли черных дыр правилам квантовой теории?