Математика алгебродинамики. Некоммутативный (кватернионный) анализ
Основная реализация алгебродинамики связана с обобщением комплексного анализа на исключительные некоммутативные алгебры - кватернионы и бикватернионы (комплексные кватернионы). Ассоциативная алгебра кватернионов была открыта У. Гамильтоном в 1843 году. Она оказалась в удивительном соответствии со свойствами физического пространства (ее группа автоморфизмов - "симметрий" алгебраических операций - соответствует группе трехмерных вращений SO(3)). Однако проблема построения теории функций кватернионного переменного (по образцу ТФКП) (или, более обще, проблема некоммутативного анализа) оказалась очень сложной и в полной мере не решена до сих пор.
Тем не менее, в 1980 году В.В. Кассандровым было предложено новое определение "гипераналитических" функций кватернионного переменного, в полной мере учитывающее как ассоциативность, так и некоммутативность этой алгебры. Класс таких функций оказался эквивалентным классу конформных отображений в E4, который в силу известной теоремы Лиувилля исчерпывается 15-параметрической группой преобразований (вращений, трансляций, инверсий и дилатаций). Для широких применений в физике и математике такой класс слишком узок.
Однако, замечательным образом, при комплексификации алгебры кватернионов, т.е. для бикватернионов, класс гипераналитических функций существенно расширяется, соответствуя геометрически т.н. "вырожденным" конформным отображениям (комплексного пространства Минковского СМ4 на "световой" конус). Эти отображения естественным образом порождают спинорную, твисторную и калибровочную структуры, а соответствующие обобщенные уравнения Коши-Римана (ОУКР) оказываются инвариантными относительно преобразований Лоренца. Это позволило интерпретировать данные уравнения как уравнения физических полей, и построить на их базе оригинальный вариант алгебраической теории поля, реализовав тем самым программу АД-подхода.
Основными специфическими свойствами системы ОУКР являются ее нелинейность и переопределенность. Первое свойство является прямым следствием некоммутативности кватернионных алгебр, позволяет рассматривать ОУКР как систему уравнений взаимодействующих полей. Второе свойство позволяет реализовать концепцию сверхпричинности А.Эйнштейна, в которой квантование является следствием ограничений на начальные распределения поля, связанные с переопределенностью полевых уравнений. Кроме того, как следствие условий совместности переопределенной системы ОУКР возникают дополнительные ограничения на поля, в том числе эквивалентные известным из физики уравнения калибровочных полей (Максвелла и Янга-Миллса).
Однако фундаментальным уравнением, играющим роль уравнений Лапласа в ТФКП и являющимся прямым следствием системы ОУКР, является здесь уравнение (комплексифицированного) эйконала - простейшее нелинейное релятивистское уравнение. Заметим, что нами недавно получено общее решение уравнения эйконала, состоящее из двух существенно различных классов. Это решение тесно связано с наличием у системы ОУКР т.н. твисторной структуры. Твистор как математический объект, тесно связанный с геометрией пространства-времени, был введен в рассмотрение Р. Пенроузом и возникает совершенно естественно в структуре ОУКР.
Заметим в заключение, что структура ОУКР порождает несколько эффективных геометрических структур, в том числе римановые метрики (типа метрик т.н. Керра-Шилда), а также исключительную афинную геометрию с неметричностью вейлевского типа и со вполне антисимметричным кручением.
Изучение системы ОУКР тесно связано также с анализом сингулярной структуры соответствующих функций-отображений и с теорией особенностей дифференцируемых отображений ("теорией катастроф") Тома-Арнольда (см.ниже).