Аннотация

Введение. В статье проведен философский анализ первой проблемы Гильберта в основаниях математики и анализ попыток ее решения ученым сообществом. Предложен новый и оригинальный подход к концептуальному решению континуум-гипотезы Г. Кантора.

Методы. К числу использованных методов можно отнести диагональный метод Г. Кантора, аксиому Лозовского о различной мощности множеств знаков периодической и непериодической дробей, результаты К. Геделя и П. Коэна по континуум-гипотезе, метод сечения Р. Дедекинда, созидающий иррациональное число. Основные идеи исследования, полученные результаты и их обсуждение. Потенциально бесконечное множество знаков периодической дроби имеет мощность конечного множества, а актуально бесконечное множество знаков непериодической дроби имеет мощность счетного множества. На основе этой аксиомы обоснована гипотеза: на отрезке числовой прямой [0,999…, 1,000…] существуют: несчетное множество иррациональных чисел вида 0,999…1415926535…; конечное множество рациональных чисел вида 0,999…; всюду плотное множество мета рациональных чисел вида 0,999…5. Таким образом, первая проблема Гильберта зависит от различения актуальной и потенциальной бесконечностей, обобщения понятия рационального числа, и она зависит от ответа на следующие вопросы: существуют ли на отрезке числовой прямой [0,999…, 1,000…] числа иного поколения, то есть мета рациональные: 0,999…1; 0,999…2; 0,999…3; … и если существуют, то обладает ли их множество промежуточной мощностью между счетным множеством и континуумом?

Заключение. Исторический урок разрешения первой проблемы Гильберта сводится к тому, что иногда фундаментальная научная проблема не разрешается, но забывается, становится неактуальной для ученого сообщества, «загоняется в дальний угол». Философский урок заключается в том, что проблемы в основаниях математики всегда междисциплинарные и должны сообща решаться философами и математиками.

Ключевые слова: актуальная и потенциальная бесконечность, мощность множества, взаимно однозначное соответствие, числовая прямая.