Аксиома: потенциально бесконечное множество знаков периодической дроби имеет мощность конечного множества, а актуально бесконечное множество знаков непериодической дроби имеет мощность счетного множества. Гипотеза: на отрезке числовой прямой [0,999…, 1,000…] существует: а) несчетное множество иррациональных чисел вида 0,999…1415926535…; конечное множество рациональных чисел вида 0,999…; всюду плотное множество мета рациональных чисел вида 0,999…5.

Гипотеза полезна следующим. 1) Становится понятным – почему точка, брошенная на числовую прямую, почти наверняка попадет на иррациональное число, мера Лебега множества которых равна 1. 2) Гипотеза относительно заполняет пробелы на числовой прямой, а ведь сечение Дедекинда рациональным числом, связано с пробелами, т.е. при нем отсутствуют граничные элементы. 3) Гипотеза объясняет полное отсутствие пробелов и наличие единственного граничного элемента, при сечении Дедекинда иррациональным числом, тем, что: только иррациональное число, в десятичном представлении которого актуально бесконечное множество знаков – актуально и до основания «рассекает» континуум [1, с.19 – 24]. 4) Гипотеза логически необходима для того, чтобы во всюду плотном совокупном множестве рациональных и мета рациональных чисел, на числовой прямой, на отрезке [0,999…, 1,000…] между этими двумя числами существовало бы бесконечное множество других чисел. 5) Гипотеза устраняет известную неоднозначность при буквальном понимании равенства значений двух различных чисел на числовой прямой: 1 = 1,000…и 1 = 0,999... (Ведь, потенциально бесконечная десятичная дробь не имеет бесконечного актуально «хвоста» из девяток. Предположение, что в записи 0, с1с2… девятка присутствует актуально, но не потенциально бесконечное множество раз несостоятельно, ведь значение дроби как действительное число 0,999… никогда не станет смежным или равным действительному числу и значению дроби 1, 000…).

Таким образом, первая проблема Гильберта, по нашему мнению, находится в русле различения актуальной и потенциальной бесконечностей, обобщения понятия рационального числа и она зависит от ответа на следующие очень непростые вопросы. Существуют ли на отрезке числовой прямой [0,999…, 1,000…] числа иного поколения, т.е. мета рациональные: 0,999…1; 0,999…2; 0,999…3; … и если существуют, то обладает ли их множество промежуточной мощностью между счетным множеством и континуумом? Ведь, очевидно то, что для мета рационального числа, также как и для иррационального числа, мы не найдем места в диагональной таблице Г. Кантора.

Допустим, отдаленную аналогию с деревом, как с целым: почва – это нестандартная числовая прямая, многочисленные корни дерева – это множество иррациональных чисел, а рациональное число – это единый ствол дерева. Но неизвестно существует ли невидимое глазом, возможное раздвоение ствола у его основания – множество «мета рациональных чисел»? Мы полагаем, что затрудняющая познание «семантическая избыточность языковых средств описания множеств», устраняется конкретностью поставленных нами ключевых вопросов, связанных с первой проблемой Д. Гильберта [2, с.9].

Литература:

1. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. М.: URSS, 2015. 44с.
2. Целищев В.В. Проблема семантической избыточности и определенность континуум-гипотезы в теориях множеств первого и второго порядков. / Философия образования, № 69, 2016, с.9 – 19.